Die Begriffe injektiv und surjektiv können ganz allgemein auf Relationen angewendet werden. Oft werden sie auf Funktionen angewendet.
Funktion
Eine Funktion \(f\) ordnet jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(X\) genau ein Element \(y\) der Zielmenge \(Y\) zu. D. h. \(f: X \rightarrow Y, \,\, x \mapsto y\)
Injektiv
Eine Abbildung \(f: X \rightarrow Y\) ist injektiv (linkseindeutig), wenn gilt: \(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\).
In \(Y\) gibt es kein Element, auf das mehr als ein Element aus \(X\) abgebildet wird. Man spricht deswegen von Linkseindeutigkeit.
Surjektiv
Eine Abbildung \(f: X \rightarrow Y\) heißt surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge \(Y\) mindestens einmal als Funktionswert von \(f\) vorkommt.
Definition: \(\forall y \in Y \quad\exists x \in X: f(x) = y\).
Beispiel
Die Funktion \(f: X \rightarrow Y, \,\, x \mapsto x^2\) hat abhängig von der Definitions- und Zielmenge unterschiedliche Eigenschaften:
- \( X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}\):
\(f\) ist nicht injektiv, weil es in \(Y\) ein Element gibt, auf das mehr als ein Element aus \(X\) abgebildet wird.
Z. B. \(f(2) = f(-2) = 4\)
\(f\) ist nicht surjektiv, weil nicht jedes Element der Zielmenge \(Y\) als Funktionswert von \(f\) vorkommt.
Z. B. Es gibt kein Element aus \(X\), das auf \(-1\) abbildet. - \( X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}_0^+\):
\(f\) ist nicht injektiv.
\(f\) ist surjektiv, weil jedes Element der Zielmenge \(Y\) als Funktionswert von \(f\) vorkommt. - \( X = \mathbb{R}^+, Y = \mathbb{R}\):
\(f\) ist injektiv, aber nicht surjektiv. - \( X = \mathbb{R}^+, Y = \mathbb{R}^+\):
\(f\) ist injektiv und surjektiv und daher bijektiv.